PERSAMAAN LINEAR

PERSAMAAN LINIER
Persamaan linear pada bab ini hanya terbatas pada persamaan linear dengan satu variabel.
Persamaan Linier Satu Variabel
Persamaan linier satu variable adalah persamaan yang hanya menggunakan satu variable saja (hanya satu variable)
1. Kalimat terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum jelas benar dan salahnya.
Kalimat pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah

Contoh kalimat benar

Jumlah dari enam dan dua adalah delapan
Enam dikurangi dua adalah empat

Contoh kalimat salah

Tujuh habis dibagi tiga
Persegi memiliki satu sisi

Jadi

Kalimat benar adalah kalimat yang pernyataannya memiliki nilai benar

Kalimat salah adalah kalimat yang pernyataannya memiliki nilai salah

2. Persamaan linier Satu Variabel

Pesamaan linier satu variable adalah persamaan yang hanya menggunakan satu variable saja (hanya satu variable)

Bentuk umum

ax + b = c   0, x = perubah
Persamaan linier dapat diselesaikan dengan cara

a. Menambah, mengurangi, membagi atau mengali dengan bilangan yang sama

b. Setiap pemindahan ruas, dari kirikekanan atau sebaliknya dapat diikuti perubahan tanda dari positif ke negatif atau sebaliknya.

Contoh

1.  4x -12 = 20

Jawab

4x -12 = 20
4x = 20 + 12
4x = 32
x= 8

2.  5x -20 = 10

Jawab

5x – 20 = 10
5x = 20 + 10
5x = 30
x = 6

Penerapan Untuk Persamaan Linier dalam Sehari-hari

Contoh

Jumlah siswa kelas 2 adalah 40 siswa. Jika jumlah siswa laki-laki sebanyak 12 siswa, berapa jumlah siswa perempuan.

Jawab

a + 12 = 40
a = 40 -12
a = 28

ALJABAR

ALJABAR

Aljabar  berasal dari kata algebra berarti ilmu yang menghitung dan cara penggunaan bilangan dengan huruf dan symbol, misalnya suku ,factor, koefisien, konstanta, suku sejenis dan suku tak sejenis.

A. Bentuk Aljabar
Bentuk Aljabar adalah suatu symbol dan huruf yang dipelajari dalam materi Aljabar.

1. Suku dan Faktor
Suku adalah bagian dari bentuk aljabar yang dipisahkan dengan tanda (+) (-)
Satu suku = Satu tunggal
Dua suku = binom
Tiga suku = triton
Suku yang banyak = polinom

Contoh

4a = satu suku, 4a

4a + 7 = dua suku, ax2, bx, dan c

Faktor adalah bagian dari suatu hasil kali

Contoh

10x = 10. x , faktornya adalah 10 dan x

20ab = 20.a.b, faktornya adalah 20, a,dan b

2. Koefisien dan Konstanta
Koefisien adalah faktor angka hasil dari suatu hasil kali

Contoh

3x + 4y = 20

koefisiennya adalah y = 3 dan x = 4

Konstanta adalah bagian yang nilainya tetap

Contoh

3x + 4y = 20

Nilai yang Konstan adalah 20.

3. Suku Sejenis dan Tak Sejenis
Suku sejenis adalah suku yang memiliki peubah dan pangkat yang sama

Contoh

4a + 7b, 3x + 4y

Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki peubah dan pangkat yang tidak sama

Contoh

4a² + 7b, 3x + 4y

B. Pecahan Aljabar
Pecahan aljabar adalah pecahan yang memuat tentang penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan pangkat.

1. Penjumlahan dan Pengurangan
Untuk pengerjaan Pengurangan dan penjumlahan harus di kelompokkan terlebih dahulu jenis sukunya.

Contoh

12 a² + 7 ab + 15 b – 5 a² -  3ab – 5b

12 a² – 5 a² + 7 ab – 3ab + 15 b – 5b

7 a² + 4 ab +10 b

2. Perkalian dan Pembagian
Dalam materi ini akan membahas tentang perkalian dan pembagian dari bentuk aljabar untuk perkalian suku bentuk aljabar dan pembagian suku bentuk aljabar

a. Perkalian suku bentuk aljabar

Bentuk aljabar variabel tidak sejenis jika saling dikalikan hasilnya variabe tersebut.

Contohnya

x x y = xy

3a x 4b = 12ab

4a x 12 b = 48ab

a² x b² =a² b²

3 a² x 4 b² = 12 a² b²

b. PembagianSuku Bentuk Aljabar

Bentuk aljabar variabe tidak sejenis jika saling dibagi hasilnya adalah pembagian variabel tersebut.

Contohnya

Pembagian dalam bentuk umum

 

a. Perkalian suku bentuk aljabar

b. Pembagian Suku Bentuk Aljabar

3. Pangkat
Pangkat aljabar berlaku persamaan sebagai berikut

 

C. Aritmatika

1. Laba dan Rugi
Laba adalah keuntungan yang didapat di mana jumlah penerimaan lebih besar daripada pengeluaran

Laba = Harga jual – Harga beli

= Penerimaan – Pengeluaran

Rugi adalah penerimaan yang didapat lebih sedikit daripada penerimaan

Rugi = Harga beli – Harga jual

= Pengeluaran – Penerimaan

2. Persen Untung, Rugi, dan Harga Jual
Persen untung berlaku

Harga jual = harga beli + untung = harga beli – rugi


3. Diskon, Rabat, Neto, Bruto dan Tara

Diskon adalah potongan harga yang diberikan kepada pembeli yang membayar secara tunai.

Rabat adalah potongan harga yang diterima pembeli dari penjual yang telah membeli barang dalam jumlah yang besar.

Bruto adalah berat kotor, berat barang beserta tempat

Bruto = neto + tara

Neto adalah adalah berat bersih , berat barang tanpa tempat

Neto = bruto – tara

Tara adalah berat tempat atau pembungkus

Tara = bruto – neto.

SKALA

SKALA
A. Skala
Skala adalah perbandingan  ukuran gambar dengan ukuran yang sebenarnya.
Rumus skala adalah Skala = Ukuran model : ukuran sebenarnya

Contoh

Peta dengan skala 1 : 500000 cm

Hitunglah jarak sebenarnya jika jarak kota A dan B 2 cm

Jawab

Jarak sebenarnya = Skala x jarak kota A dan B

Jarak sebenarnya = 500000 x 2 = 1000000 cm

Karena jarak sesungguhnya maka dijadikan km sehingga nilainya 10 km.

B. Perbandingan

Perbandingan adalah dua buah bilangan yang dibandingkan satu sama lainnya. Perbandingan identik dengan pecahan, sedangkan perbandingan tidak akan berubah jika dikalikan atau dibagi dengan bilangan lain , Selain itu perbandingan bisa dibagi dengan membagi suku pertama atau mengalikan suku kedua.Perbandingan juga bisa dikalikan dengan suatu bilangan dengan cara meangalikan bilangan pertama dengan bilangan tersebut dan sebaliknya untuk suku kedua.

Contoh

Didalam kelas terdapat 40 siswa, sebanyak 10 anak tidak masuk sekolah karena sakit , tentukanlah.

1. Perbandingan siswa yang tidak masuk dengan seluruh siswa
2. Perbandingan siswa masuk dengan seluruh kelas
3. Perbandingan siswa yang tidak masuk dengan  siswa yang masuk

Jawab

1. Siswa masuk : Siswa tidak masuk
   40 : 10 maka perbandingan siswa masuk dengan siswa tidak masuk adalah 4 : 1
2. Siswa masuk : Siswa seluruh kelas
   40 – 10 : 40
   30 : 40, maka perbandingan siswa masuk dengan siswa seluruh kelas adalah     3 : 4
3. Siwa tidak masuk : Siswa yang masuk
   10 : 40 – 10
   10 : 30, maka perbandingan siswa tidak masuk dengan siswa masuk adalah  1 : 3

C. Perbandingan seharga dan berbalik harga

Perbandingan seharga adalah perbandingan dua besaran yang memiliki harga yang sama besarnya. Misalnya perbandingan minyak goreng dengan harga minyak goreng dipasar, semakin banyak minyak yang dibeli maka harganya akan semakin besar pula.

Contoh

Harga minyak goreng 3 kg adalah Rp. 15000, jika budi membeli 5 kg minyak goreng berapa harganya.

Jawab

Perhitungan Perbandingan
5 kg minyak goreng : harga minyak
3 : 5 = 15000 : x

3x = 75000
x = 25000
jadi harga 5 kg minyak goreng adalah Rp.25000

Perbandingan Berbalik harga adalah adalah suatu perbandingan dengan dua besaran yang mempunyai nilai kebalikan.

Contoh

Sebanyak 3 orang menyelesaikan pekerjaan selama 20 hari, berapa hari pekerjaan selesai jika dikerjakan oleh 5 orang.

Jawab

Jadi 5 orang bisa menyelesaikan sebanyak 12 hari.

Bilangan

BILANGAN

Dalam materi bilangan akan membahas tentang bilangan dan lambang bulat. Bilangan adalah suatu angka yang menunjukan nilai dari sebuah bilangan, contohnya bilangan negatif, bilangan positif, bilangan ganjil, bilangan genap, bilangan prima dan sebagainya.

A. Bilangan dan Lambang

Bilangan bulat adalah bilangan yang masih utuh yang terdiri dari bilangan nol, bilangan positif dan bilangan negatif. Bilangan bulat biasanya dilambangkan dengan huruf B ( bilangan bulat ). Bilangan bulat biasa digambarkan sebagai garis bilangan, semakin ke kanan letak bilangan maka nilainya akan semakin besar sedangkan semakin ke kiri nilai suatu bilangan akan semakin kecil karena bertanda negatif.

1. Jenis-jenis Bilangan Bulat

a. Bilangan Bulat negatif

Bilangan negatif adalah suatu himpunan yang memiliki anggota negatif, sedangkan ciri bilangan negatif adalah bilangan yang nilai paling besar terletak pada nilai -1. Bisa ditulis dengan B = {-1,-5,-7,-9} terlihat nilai paling besar adalah -1.

b. Bilangan Bulat Positif

Bilangan Positif adalah suatu himpunan yang memiliki anggota positif dan bilangan asli. Bilangan ini memiliki ciri nilai paling besar adalah tak hingga. Bisa ditulis dengan B = {1,2,3,4,5,….10}.

c. Bilangan Bulat Nol

Bilangan nol adalah suatu himpunan yang memiliki anggota hanya bilangan nol saja. Bisa ditulis dengan B = {0}

d. Bilangan Bulat Ganjil

Bilangan bulat ganjil adalah suatu himpunan yang memiliki anggota bilangan ganjil baik positif atau negatif. Bisa dituliskan dengan B = {-5,-3,1,3}.

e. Bilangan Bulat Genap

Bilangan bulat genap adalah suatu himpunan yang memiliki anggota bilangan genap baik positif maupun negatif. Bisa dituliskan dengan B = {-4,-2,2,4}.

2. Bilangan Bulat Sebagai Besaran

a. Penyusutan nilai

Penyusutan nilai adalah berkurangnya nilai suatu angka yang diberi tanda (-), contohnya harga gabah turun Rp 30.000,00 maka penulisannya bisa ditulis sebagai – Rp 30.000,00.

b. Termometer

Termometer adalah alat ukur yang digunakan untuk mengukur suhu. Contohnya suhu diatas 0 ditunjukan dengan nilai positif sedangkan suhu dibawah 0 ditunjukkan dengan nilai negatif.

B. Operasi Bilangan Bulat

1. Penjumlahan dan Pengurangan

a. Penjumlahan
Sifat dari penjumlahan dapat dibedakan menjadi beberapa

1. Sifat komutatif

Contohnya:
a + b = b + a
2 + 5 = 5 + 2

2. Sifat pengelompokan

Contohnya:
b + ( d + e) = ( b + d ) + e
2 + (  3 + 5 ) = ( 2 + 3 ) + 5

3. Netral

c +  0 = 0 + c = c
3 + 0 = 0 + 3 = 3 pembagian

b. Pengurangan
Pengurangan adalah kebalikan dari suatu penjumlahan, contoh operasi pengurangan adalah:

a – b = a + (-b)
a – (-b) = a + b
2 – 1 = 2 + (-1) = 1
2 – ( – 1 ) = 2 + 1 = 3

2. Perkalian dan pembagian

a. Perkalian
Sifat dari perkalian dapat dibedakan menjadi beberapa

1. Sifat komutatif

Contohnya:

a x b = b x a
2 x 5 = 5 x 2

2. Sifat Asosiatif

Contohnya:

(a x b ) x c  = a x ( b x c )
( 5 x 6 ) x 2 = 5 x ( 6 x 2)
30 x 2 = 5 x 12
60            60

3. Sifat distributif terhadap perkalian

Contohnya

a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x b )
2 x ( 5 + 10 ) = ( 2 x 5 ) + ( 2 x 10 )

b. Pembagian

1. Pembagian dua bilangan bertanda sama

Contohnya

Nilai positif dibagi positif hasilnya positif
10 : 2 = 5
Nilai  dibagi negatif dibagi negafif hasilnya positif
-10 : -2 = 5

2. Pembagian dengan tanda yang berbeda

Contohnya

Nilai positif dibagi dengan negatif hasilnya negatif
15 : -3 = -5

C. Bilangan Pangkat

a. Perkalian berpangkat
Perkalian berpangkat adalah perkalian antara dua angka yang nilainya sama.

Contohnya

a^p x a^q = a^p+q

2² x 2³ = 2²⁺³ = 2⁵ = 32

b. Bilangan negatif dengan pangkat positif
Bilangan negatif pangkat adalah nilai bilangannya negatif sedangkan nilai pangkatnya adalah positif. Sedangkan untuk bilangan ini ada cirinya, yaitu bila pangkat ganjil hasilnya negatif sedangkan untuk pangkat genap hasilnya adalah positif.

Contohnya

-2³ = -8

-2⁴ = 16

c. Pembagian bilangan berpangkat
Contoh dari pembagian pangkat adalah

a^p : a^q = a^p-q

2⁵ : 2² = 2³ = 8

D. Bilangan kuadrat, pangkat tiga dan akar

1. Pangkat dua

Bilangan yang merupakan hasil dari pangkat dua disebut juga kuadrat atau pangkat dua sering disebut juga kuadrat.

Contohnya

5² = 5 x 5 = 25
6² = 6 x 6 = 36

2. Pangkat tiga

Pangkat tiga adalah bentuk perkalian berulang dengan nilai yang sama sebanyak tiga kali.

Contohnya

3³ = 3 x 3 x 3 = 27

4³ = 4 x 4 x 4 = 64

3. Akar pangkat dua

Akar pangkat dua adalah bilangan yang nilainya diakar pangkat dua

Contohnya

 

4. Akar pangkat tiga

Mencari nilai dari sebuah akar pangkat tiga

 

 E. Bilangan Pecahan

1. Jenis-jenis Bilangan Pecahan

• Pecahan biasa adalah pecahan yang dinyatakan dengan pembilang per penyebut

Contohnya

(1/2,  2/3 ,4/5)

• Pecahan campuran adalah pecahan yang terdiri dari bilangan bulat dan bilangan biasa.

Contohnya

1 1/2, 3 3/5, 4 1/5

• Pecahan Desimal adalah bilangan yang di dapat dengan cara membagi suatu bilangan lain dengan angka 10 dan kelipatannya.

Contohnya

0,9 adalah hasil bagi antara 9/10

0, 55 adalah hasil bagi antara 55/100

• Persen adalah pecahan yang nilainya perseratus biasanya dilambangkan dengan %.

Contohnya

50% memiliki arti  50/100

70% memiliki arti 70/100

2. Mengubah Bentuk Pecahan

• Pecahan biasa ke decimal

Contohnya

4/5 = 4/5 x 4/4 = 0,8

3/4 = 3/4 x 3/3 = 0,75

• Pecahan biasa menjadi persen

Pecahan diubah dengan persamaan a/b = a/b x 100%

Contohnya

3/4 = 3/4 x 100% = 75%

1/2 = 1/2 x 100% = 50%

3. Operasi Pecahan

a. Penjumlahan dan Pengurangan

Untuk mencari nilai dari penjumlahan dan pengurangan terlebih dahulu disamakan dahulu penyebutnya

Contoh Penjumlahan

Contoh Pengurangan

b. Perkalian dan Pembagian

Perkalian dalam pecahan ini dilakukan dengan cara mengalikan antara pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. Sedangkan untuk pembagian dilakukan dengan cara membalik salah satu penyebut menjadi pembilang setelah itu baru dikalikan antara pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut

Contoh Perkalian

Contoh Pembagian

Himpunan

HIMPUNAN
Pengertian himpunan
Himpunan adalah sekelompok benda dari unsur yang telah dibatasi atau terdefinisikan secara jelas dan memiliki sifat keterikatan tertentu. Misalnya himpunan hewan dalam hutan, himpunan bilangan genap antara 20 sampai dengan 40.
Sifat Unsur-unsur himpunan
Sifat keterikatan tertentu benda-benda didalam suatu himpunan disebut juga sifat himpunan, adapun sifat dari himpunan adalah

1. Objek di dalam suatu himpunan bisa dibedakan antara obyek satu dengan yang lainnya, misalnya himpunan hewan dalam hutan, dim ana anggotanya bisa harimau, jerapah, gajah dan sebagainya.
2. Unsur yang berada di dalam suatu himpunan dapat dibedakan dengan unsur yang tidak berada didalam ruangan.misalnya himpunan benda dalam aquarium bisa dibedakan dengan benda yang berada diluar aquarium, misalnya kursi yang ada diluar

berikut pembahasan yang akan dipelajari dalam himpunan:
 a. CIRI-CIRI HIMPUNAN

1. Adanya benda yang merupakan suatu anggota himpunan
2. Adanya sejumlah unsur pembentuk himpunan
3. Adanya unsur yang bukan termasuk anggota himpunan.

LAMBANG HIMPUNAN
Suatu himpunan dapat ditulis dengan lambang kurung kurawal pembuka ({ ) dan diakhiri dengan kurung kurawal penutup( } ).Himpunan selalu di beri nama dengan huruf kapital (huruf besar). Unsur-unsur yang termasuk dalam objek himpunan ditulis diantara tanda kurung kurawal.
Contohnya : himpunan X adalah himpunan bilangan prima kurang dari 20, ditulis X = {bilangan prima kurang dari 20}
b.  Menyatakan Himpunan
Ada tiga cara untuk menyatakan suatu himpunan

1. Mendaftar adalah suatu metode yang digunakan dengan cara menyebutkan anggotanya atu persatu. Contohnya X bilangan kurang dari 10.ditulis A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9)
2. Menggunakan notasi pembentukan himpunan,yaitu dengan menyatakan suatu himpunan dengan variabel dan menyatakan sifat-sifatnya. Contohnya B adalah suatu himpunan yang anggotanya bilangan genap. Ditulis B = {x/x adalah bilangan genap}
3. Dengan menggunakan kata-kata yaitu dengan cara merangkai kata-kata yang mengambarkan suatu bilangan. Contohnya A adalah himpunan yang anggotanya adalah hewan berkaki empat. Ditulis A = {hewan kaki empat} 

       c.  ANGGOTA HIMPUNAN

1. Anggota himpuna disebut juga elemen himpunan. Anggota atau elemen himpunan adalah semua unsur yang terdapat di dalam suatu himpunan. Anggota suatu himpunan ditulis dengan menggunakan simbol “E”. Sedang kan yang bukan dilambangkan dengan E coret. Contohnya salah satu anggota atau elemen kurang dari 5 adalah {1,2,3,4}.  
2. d. JENIS-JENIS HIMPUNAN
   1. himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. Contohnya D = {bilangan genap kurang dari 10} atau A = {2,4,6,8}. Himpunan D jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah.
3. Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil}
4. Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {}. Contohnya B = {bilangan genap antara 2 dan 4}. ditulis B={}={0}.
5. Himpunan equal/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama
   contohnya A= {b,c,d}
   B={d,c,b}
   A=B
6. Himpunan ekuivalen adalah himpunan-himpunan yang jumlah anggotanya sama.
   Contohnya A= {b,c,d}
   B={d,c,b}
   A jumlahnya sama dengan B
7. Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S.
   contohnya:
   A = {1,3,5,7,9}
   himpunan semestanya berupa:
   S = {bilangan asli}
   S = {bilangan cacah}
   S = {bilangan ganjil kurang dari 10}
8. Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A.
   contohnya
   B = {a,c,e}
   A = {a,b,c,d,e}
   jadi B bagian dari A.
9. Anggota himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan.
   Contohnya
   A = (a,b,c,d,e}
   maka a elemen A
10. Himpunan lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain.
    Contohnya
    A = {d,e,f}
    B = {g,h,i}
    maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B
11. bukan anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut
    contohnya
    A = {a,b,c,d}
    e bukan anggota himpunan A.
12. Himpunan biolangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari nol dan seterusnya
    contoh
    K = {0,1,2,3,4,5}
13. Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu dan seterusnya.
    Contohnya
    D = {1,2,3,4,}
14. himpunan bilangan genap adalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu genap atau habis dibagi dua
    contohnya
    G = {2,4,6,8,10}
15. himpunan bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua
    contohnya
    K = {1,3,5,7}
16. himpunan blangan prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang memiliki dua faktor
    contohnya
    Y = {2,3,,5,7}
17. himpunan kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya dipangkatkan dua.
    Contohnya
    Y = {0^2,1^2,3^2)

Diagram venn

Diagram venn adalah suatu gambar yang digunakan untuk menyatakan suatu himpunan dalam himpunan semesta.
Ciri dari diagram venn adalah adanya bilangan asli dan himpunan semesta.

Contohnya

Buat diagram venn jika
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A = { 1, 4, 6, 7 }
B = { 2, 4, 5, 8 }

Irisan dan gabungan

Irisan

Irisan adalah dua himpunan yang bagian-bagiannya menjadi anggota dari keduanya.

Contohnya

Irisan himpunan A dan B
A B = { x | x A dan B }
Jika A = { 2, 7, 9, 11 }
Jika B = { 1, 5, 9, 10}
Maka A B = 9

Atau

Gabungan

Gabungan adalah dua himpunan yang anggotanya hanya bilangan itu saja misalnya anggota bilangan A saja, anggota bilangan B saja dan anggota A, B keduanya.

Contohnya

A B = { x A, atau x B}
Jika A = { 5, 7, 9, 11 )
Jika B = { 6, 7, 8, 9, 10 }
A B = { 5, 6, 7, 8, 9 10, 11 )

Atau

Sifat-sifat operasi himpunan
1. Komutatif

a. Irisan

Berlaku
A B = B A

b. Gabungan

Berlaku
A B = B A

2. Asosiatif

a. Irisan tiga himpunan

(A B) C = A ( B C)

b. Gabungan tiga himpunan

(A B) C = A ( B C)

3. Distributif

a. Gabungan

A (B C) = (A B) (A C)

b. Irisan

A ( B C ) = (A B) (A C)