Bilangan

BILANGAN

Dalam materi bilangan akan membahas tentang bilangan dan lambang bulat. Bilangan adalah suatu angka yang menunjukan nilai dari sebuah bilangan, contohnya bilangan negatif, bilangan positif, bilangan ganjil, bilangan genap, bilangan prima dan sebagainya.

A. Bilangan dan Lambang

Bilangan bulat adalah bilangan yang masih utuh yang terdiri dari bilangan nol, bilangan positif dan bilangan negatif. Bilangan bulat biasanya dilambangkan dengan huruf B ( bilangan bulat ). Bilangan bulat biasa digambarkan sebagai garis bilangan, semakin ke kanan letak bilangan maka nilainya akan semakin besar sedangkan semakin ke kiri nilai suatu bilangan akan semakin kecil karena bertanda negatif.

1. Jenis-jenis Bilangan Bulat

a. Bilangan Bulat negatif

Bilangan negatif adalah suatu himpunan yang memiliki anggota negatif, sedangkan ciri bilangan negatif adalah bilangan yang nilai paling besar terletak pada nilai -1. Bisa ditulis dengan B = {-1,-5,-7,-9} terlihat nilai paling besar adalah -1.

b. Bilangan Bulat Positif

Bilangan Positif adalah suatu himpunan yang memiliki anggota positif dan bilangan asli. Bilangan ini memiliki ciri nilai paling besar adalah tak hingga. Bisa ditulis dengan B = {1,2,3,4,5,….10}.

c. Bilangan Bulat Nol

Bilangan nol adalah suatu himpunan yang memiliki anggota hanya bilangan nol saja. Bisa ditulis dengan B = {0}

d. Bilangan Bulat Ganjil

Bilangan bulat ganjil adalah suatu himpunan yang memiliki anggota bilangan ganjil baik positif atau negatif. Bisa dituliskan dengan B = {-5,-3,1,3}.

e. Bilangan Bulat Genap

Bilangan bulat genap adalah suatu himpunan yang memiliki anggota bilangan genap baik positif maupun negatif. Bisa dituliskan dengan B = {-4,-2,2,4}.

2. Bilangan Bulat Sebagai Besaran

a. Penyusutan nilai

Penyusutan nilai adalah berkurangnya nilai suatu angka yang diberi tanda (-), contohnya harga gabah turun Rp 30.000,00 maka penulisannya bisa ditulis sebagai – Rp 30.000,00.

b. Termometer

Termometer adalah alat ukur yang digunakan untuk mengukur suhu. Contohnya suhu diatas 0 ditunjukan dengan nilai positif sedangkan suhu dibawah 0 ditunjukkan dengan nilai negatif.

B. Operasi Bilangan Bulat

1. Penjumlahan dan Pengurangan

a. Penjumlahan
Sifat dari penjumlahan dapat dibedakan menjadi beberapa

1. Sifat komutatif

Contohnya:
a + b = b + a
2 + 5 = 5 + 2

2. Sifat pengelompokan

Contohnya:
b + ( d + e) = ( b + d ) + e
2 + (  3 + 5 ) = ( 2 + 3 ) + 5

3. Netral

c +  0 = 0 + c = c
3 + 0 = 0 + 3 = 3 pembagian

b. Pengurangan
Pengurangan adalah kebalikan dari suatu penjumlahan, contoh operasi pengurangan adalah:

a – b = a + (-b)
a – (-b) = a + b
2 – 1 = 2 + (-1) = 1
2 – ( – 1 ) = 2 + 1 = 3

2. Perkalian dan pembagian

a. Perkalian
Sifat dari perkalian dapat dibedakan menjadi beberapa

1. Sifat komutatif

Contohnya:

a x b = b x a
2 x 5 = 5 x 2

2. Sifat Asosiatif

Contohnya:

(a x b ) x c  = a x ( b x c )
( 5 x 6 ) x 2 = 5 x ( 6 x 2)
30 x 2 = 5 x 12
60            60

3. Sifat distributif terhadap perkalian

Contohnya

a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x b )
2 x ( 5 + 10 ) = ( 2 x 5 ) + ( 2 x 10 )

b. Pembagian

1. Pembagian dua bilangan bertanda sama

Contohnya

Nilai positif dibagi positif hasilnya positif
10 : 2 = 5
Nilai  dibagi negatif dibagi negafif hasilnya positif
-10 : -2 = 5

2. Pembagian dengan tanda yang berbeda

Contohnya

Nilai positif dibagi dengan negatif hasilnya negatif
15 : -3 = -5

C. Bilangan Pangkat

a. Perkalian berpangkat
Perkalian berpangkat adalah perkalian antara dua angka yang nilainya sama.

Contohnya

a^p x a^q = a^p+q

2² x 2³ = 2²⁺³ = 2⁵ = 32

b. Bilangan negatif dengan pangkat positif
Bilangan negatif pangkat adalah nilai bilangannya negatif sedangkan nilai pangkatnya adalah positif. Sedangkan untuk bilangan ini ada cirinya, yaitu bila pangkat ganjil hasilnya negatif sedangkan untuk pangkat genap hasilnya adalah positif.

Contohnya

-2³ = -8

-2⁴ = 16

c. Pembagian bilangan berpangkat
Contoh dari pembagian pangkat adalah

a^p : a^q = a^p-q

2⁵ : 2² = 2³ = 8

D. Bilangan kuadrat, pangkat tiga dan akar

1. Pangkat dua

Bilangan yang merupakan hasil dari pangkat dua disebut juga kuadrat atau pangkat dua sering disebut juga kuadrat.

Contohnya

5² = 5 x 5 = 25
6² = 6 x 6 = 36

2. Pangkat tiga

Pangkat tiga adalah bentuk perkalian berulang dengan nilai yang sama sebanyak tiga kali.

Contohnya

3³ = 3 x 3 x 3 = 27

4³ = 4 x 4 x 4 = 64

3. Akar pangkat dua

Akar pangkat dua adalah bilangan yang nilainya diakar pangkat dua

Contohnya

 

4. Akar pangkat tiga

Mencari nilai dari sebuah akar pangkat tiga

 

 E. Bilangan Pecahan

1. Jenis-jenis Bilangan Pecahan

• Pecahan biasa adalah pecahan yang dinyatakan dengan pembilang per penyebut

Contohnya

(1/2,  2/3 ,4/5)

• Pecahan campuran adalah pecahan yang terdiri dari bilangan bulat dan bilangan biasa.

Contohnya

1 1/2, 3 3/5, 4 1/5

• Pecahan Desimal adalah bilangan yang di dapat dengan cara membagi suatu bilangan lain dengan angka 10 dan kelipatannya.

Contohnya

0,9 adalah hasil bagi antara 9/10

0, 55 adalah hasil bagi antara 55/100

• Persen adalah pecahan yang nilainya perseratus biasanya dilambangkan dengan %.

Contohnya

50% memiliki arti  50/100

70% memiliki arti 70/100

2. Mengubah Bentuk Pecahan

• Pecahan biasa ke decimal

Contohnya

4/5 = 4/5 x 4/4 = 0,8

3/4 = 3/4 x 3/3 = 0,75

• Pecahan biasa menjadi persen

Pecahan diubah dengan persamaan a/b = a/b x 100%

Contohnya

3/4 = 3/4 x 100% = 75%

1/2 = 1/2 x 100% = 50%

3. Operasi Pecahan

a. Penjumlahan dan Pengurangan

Untuk mencari nilai dari penjumlahan dan pengurangan terlebih dahulu disamakan dahulu penyebutnya

Contoh Penjumlahan

Contoh Pengurangan

b. Perkalian dan Pembagian

Perkalian dalam pecahan ini dilakukan dengan cara mengalikan antara pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. Sedangkan untuk pembagian dilakukan dengan cara membalik salah satu penyebut menjadi pembilang setelah itu baru dikalikan antara pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut

Contoh Perkalian

Contoh Pembagian